5942. К двум равным непересекающимся окружностям проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A
и B
. Через точку C
, лежащую на отрезке AB
, проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D
и E
, причём отрезки CA
и CD
касаются одной окружности, а отрезки CB
и CE
— другой.
а) Докажите, что периметр треугольника CDE
вдвое больше расстояния между центрами окружностей.
б) Найдите DE
, если известно, что радиусы окружностей равны 6, расстояние между их центрами равно 20, а AC=8
.
Ответ. 12,5.
Решение. а) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиуса R
; касательная, проведённая из точки C
к окружности с центром O_{1}
, и луч CO_{1}
пересекают вторую прямую в точках D
и D_{1}
соответственно; касательная, проведённая из точки C
к окружности с центром O_{2}
, и луч CO_{2}
пересекают вторую прямую в точках E
и E_{1}
соответственно.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому \angle DCD_{1}=\angle ACD_{1}=\angle CD_{1}D
, треугольник CDD_{1}
равнобедренный, CD=DD_{1}
. Аналогично CE=EE_{1}
. Следовательно, периметр P
треугольника CDE
равен сумме отрезков DD_{1}
, DE
и EE_{1}
, т. е. P=D_{1}E_{1}
.
Кроме того, биссектриса DO_{1}
равнобедренного треугольника CDD_{1}
является его медианой, значит, O_{1}
— середина CD_{1}
. Аналогично O_{2}
— середина CE_{1}
, значит, O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника CD_{1}E_{1}
. Следовательно, P=D_{1}E_{1}=2OO_{1}=2R
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть окружность с центром O_{1}
касается отрезка CD
в точке K
, а прямой DE
— в точке M
; окружность с центром O_{2}
касается отрезка CE
в точке L
, а прямой DE
— в точке N
. Тогда O_{1}K
— высота прямоугольного треугольника CO_{1}D
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
DM=DK=\frac{O_{1}K^{2}}{CK}=\frac{R^{2}}{AC}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2},
а так как
CL=CB=AB-AC=20-8=12,
то аналогично EN=EL=\frac{36}{12}=3
. Поскольку ABNM
прямоугольник, MN=AB=20
, следовательно,
DE=MN-DM-EN=AB-DM-EN=20-\frac{9}{2}-3=\frac{25}{2}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2014
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5, с. 173; № 15, с. 188