5946. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=7
, BC=24
, CD=15
, AD=20
и AC=25
.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD
вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
Ответ. \frac{3}{5}
.
Решение. а) Поскольку
AC^{2}=25^{2}=7^{2}+24^{2}=AB^{2}+BC^{2}~\mbox{и}~AC^{2}=25^{2}=15^{2}+20^{2}=CD^{2}+AD^{2},
треугольники ABC
и ACD
— прямоугольные с прямыми углами при вершинах B
и D
. Из точек B
и D
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Следовательно, четырёхугольник ABCD
вписанный.
б) Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Вписанные углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADB=\angle ACB=\gamma
. Из прямоугольных треугольников ACD
и ABC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AD}{AC}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5},~\sin\alpha=\frac{3}{5},~\cos\gamma=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{25},~\sin\gamma=\frac{7}{25}.
Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CPD=\angle PAD+\angle ADP=\alpha+\gamma,
следовательно,
\cos\angle CPD=\cos(\alpha+\gamma)=\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma=\frac{4}{5}\cdot\frac{24}{25}-\frac{3}{5}\cdot\frac{7}{25}=\frac{3}{5}.