5947. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=2
, BC=21
, CD=18
, AD=11
и AC=\sqrt{445}
.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD
вписанный.
б) Найдите угол между его диагоналями.
Ответ. \arccos\frac{39}{89}
.
Решение. а) Поскольку
AC^{2}=445=4^{2}+21^{2}=AB^{2}+BC^{2}~\mbox{и}~AC^{2}=445=18^{2}+11^{2}=CD^{2}+AD^{2},
треугольники ABC
и ACD
— прямоугольные с прямыми углами при вершинах B
и D
. Из точек B
и D
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Следовательно, четырёхугольник ABCD
вписанный.
б) Обозначим \angle CAD=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Вписанные углы ADB
и ACB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ADB=\angle ACB=\gamma
. Из прямоугольных треугольников ACD
и ABC
находим, что
\cos\alpha=\frac{AD}{AC}=\frac{11}{\sqrt{445}},~\sin\alpha=\frac{18}{\sqrt{445}},~\cos\gamma=\frac{BC}{AC}=\frac{21}{\sqrt{445}},~\sin\gamma=\frac{2}{\sqrt{445}}.
Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle CPD=\angle PAD+\angle ADP=\alpha+\gamma,
следовательно,
\cos\angle CPD=\cos(\alpha+\gamma)=\cos\alpha\cos\gamma-\sin\alpha\sin\gamma=
=\frac{11}{\sqrt{445}}\cdot\frac{21}{\sqrt{445}}-\frac{18}{\sqrt{445}}\cdot\frac{2}{\sqrt{445}}=\frac{195}{445}=\frac{39}{89}.