5948. Найдите геометрическое место точек, расположенных внутри данного угла, разность расстояний от которых до сторон этого угла имеет данную величину.
Ответ. Два параллельных луча.
Указание. См. задачу 5514.
Решение. Пусть AOB
— данный угол, a
— данная величина. Рассмотрим точки внутри данного угла, расположенные ближе к стороне OA
, чем к стороне OB
. На расстоянии, равном a
, проведём прямую l
, параллельную стороне OB
, и пересекающую сторону OA
в точке C
.
Пусть D
— точка прямой l
, лежащая внутри угла AOB
. Тогда разность расстояний, от любой внутренней точки угла AOB
, лежащей на биссектрисе угла ACD
, до сторон OB
и AB
равна a
.
Обратно, если разность расстояний от некоторой внутренней точки M
угла AOB
до его сторон OB
и OA
равна a
, а P
, Q
и F
— проекции этой точки на прямые OA
, OB
и l
соответственно, то
MF=MQ-FQ=MQ-a=MP,
Значит, точка M
лежит на биссектрисе угла ACD
.
Следовательно, искомое геометрическое место точек — биссектриса угла ACD
.
Аналогично для внутренних точек угла AOB
, расположенных ближе к стороне OB
, чем к стороне OA
.