5951. На боковых сторонах AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
отметили соответственно точки K
и L
так, что AK=CL
и \angle ALK+\angle LKB=60^{\circ}
. Докажите, что KL=BC
.
Решение. На высоте AH
треугольника ABC
отметим такую точку D
, что DK=AK=CL
. Поскольку AH
— биссектриса угла BAC
, а треугольник AKD
равнобедренный, то \angle ADK=\angle DAK=\angle DAC
, значит, DK\parallel CL
. Тогда KDCL
— параллелограмм, следовательно, KL=CD
и KL\parallel CD
.
Обозначим \angle ALK=\alpha
. Тогда
\angle LKB=60^{\circ}-\alpha,~\angle BKD=\angle LKB-\angle LKD=60^{\circ}-\alpha-\alpha=60^{\circ}-2\alpha.
Пусть прямые KD
и BC
пересекаются в точке M
. Треугольник AKM
равнобедренный, поэтому
\angle DMB=\angle KMB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BKM=90^{\circ}-(30^{\circ}+\alpha)=60^{\circ}+\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DCM=\angle DMB-\angle CDM=(60^{\circ}+\alpha)-\alpha=60^{\circ},
а так как точка D
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
, то DB=DC
. Значит, треугольник BCD
равносторонний. Следовательно, KL=CD=BC
.