5952. Окружность касается сторон AB
, BC
, CD
параллелограмма ABCD
в точках K
, L
, M
соответственно. Докажите, что прямая KL
делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C
на AB
.
Решение. Первый способ. Пусть CH
— указанная высота, N
— её точка пересечения с прямой KL
. Ясно, что KM
— диаметр окружности, а CHKM
— прямоугольник. Пусть O
— центр окружности, r
— её радиус, тогда KM=CH=2r
. Достаточно доказать, что HN=r
. Пусть C=2\alpha
. Поскольку CO
— биссектриса угла C
, то \angle MCO=\alpha
. В равнобедренном треугольнике BLK
\angle B=180^{\circ}-2\alpha,
поэтому \angle BLK=\alpha
. Прямоугольные треугольники KNH
и COM
равны по катету и прилежащему острому углу. Но тогда HN=MO=r
.
Второй способ. Пусть CH
— указанная высота, N
— её точка пересечения с прямой KL
. Ясно, что KM
— диаметр окружности, а CHKM
— прямоугольник. Пусть O
— центр окружности. Высота CH
равна диаметру, поэтому достаточно доказать, что CN=OK
. Поскольку CO
— биссектриса угла C
равнобедренного треугольника LCM
, то CO\perp LM
. Но и прямая LK
перпендикулярна LM
, значит, CNKO
— параллелограмм. Следовательно, CN=OK
.
Третий способ. Пусть CH
— указанная высота. Отложим на луче LB
отрезок LN=LC
. Ясно, что CHKM
— прямоугольник. Поскольку BK=BL
и HK=CM=CL=NL
, то и BH=BN
. В равнобедренных треугольниках BLK
и BNH
углы равны, поэтому прямая HN
параллельна KL
. Следовательно, прямая KL
содержит среднюю линию треугольника HCN
и делит сторону CH
пополам.