5953. На стороне BC
треугольника ABC
выбрана точка L
так, что AL
в два раза больше медианы CM
. Оказалось, что угол ALC
равен 45^{\circ}
. Докажите, что AL
и CM
перпендикулярны.
Решение. Пусть N
— середина отрезка AL
. Тогда MN
— средняя линия треугольника BAL
. Поэтому LMNC
— трапеция (или параллелограмм) с равными диагоналями, т. е. равнобедренная трапеция (или прямоугольник). Один из углов между её диагоналями LN
и CM
в два раза больше угла NLC
, т. е. равен 90^{\circ}
.
Автор: Женодаров Р. Г.
Источник: Турнир городов. — 2013-14, XXXV, базовый вариант, 16 февраля 2014 г., 8-9 классы