5954. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали перпендикулярны. На сторонах AD
и CD
отмечены соответственно точки M
и N
так, что углы ABN
и CBM
прямые. Докажите, что прямые AC
и MN
параллельны.
Решение. Достаточно доказать, что \frac{AM}{MD}=\frac{CN}{ND}
.
Первый способ. Заметим, что
\angle BAC=\angle DBN,~\angle BCA=\angle DBM,~\angle ABM=\angle CBN
(углы с соответственно перпендикулярными сторонами); обозначим эти углы \alpha
, \gamma
, \varphi
.
Имеем
\frac{AM}{MD}=\frac{S_{\triangle ABM}}{S_{\triangle MBD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BM\sin\varphi}{\frac{1}{2}BD\cdot BM\sin\gamma}=\frac{AB\sin\varphi}{BD\sin\gamma}.
Аналогично \frac{CN}{ND}=\frac{BC\sin\varphi}{BD\sin\alpha}
. Осталось заметить, что \frac{AB}{\sin\gamma}=\frac{BC}{\sin\alpha}
по теореме синусов для треугольника ABC
.
Второй способ. Проведём через точки A
и C
прямые, параллельные MB
и NB
соответственно. Они пересекутся в точке L
. Тогда прямые CB
и AB
будут высотами в треугольнике ALC
. Значит, прямая LB
— тоже высота. Следовательно, точка L
лежит на прямой BD
. Поэтому
\frac{AM}{MD}=\frac{BL}{BD}=\frac{CN}{ND}.