5959. а) Внутри окружности находится некоторая точка A
. Через A
провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
б) Внутри окружности находится правильный 2n
-угольник (n\gt2
), его центр A
не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A
в вершины 2n
-угольника, высекают 2n
точек на окружности. 2n
-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n
новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n
точек.
Решение. Если точка A
совпадает с центром O
окружности, то утверждение очевидно. В противном случае докажем, что центр масс — это середина отрезка OA
.
а) Прямые высекают две перпендикулярные хорды. У каждой хорды центр масс её концов — середина этой хорды. Если одна из хорд — диаметр, то середина другой совпадает с A
, поэтому центр масс — середина OA
. Если обе хорды — не диаметр, то пусть B
и C
— их середины. Тогда OABC
— прямоугольник (см. задачу 1677), и центр масс — середина BC
, которая совпадает с серединой OA
.
б) Соединив точки с A
, получим n
хорд, образующих с соседними равные углы \frac{180}{n}
. Центр масс концов хорд совпадает с центром масс середин этих хорд. Из середин указанных хорд отрезок OA
виден под прямым углом (см. задачу 1677), значит, эти середины лежат на меньшей окружности с диаметром OA
. Равенство вписанных углов влечёт равенство дуг, поэтому середины хорд лежат в вершинах правильного многоугольника, вписанного в меньшую окружность. Следовательно, их центр масс — это центр меньшей окружности, т. е. середина OA
.