5960. На наибольшей стороне AB
треугольника ABC
взяли такие точки P
и Q
, что AQ=AC
, BP=BC
. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника PQC
, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Треугольник BPC
— равнобедренный, поэтому биссектриса угла B
совпадает с серединным перпендикуляром к стороне CP
. Аналогично биссектриса угла A
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CQ
. Но центр вписанной окружности треугольника ABC
лежит на пересечении упомянутых биссектрис, а центр описанной окружности треугольника PQC
— на пересечении упомянутых серединных перпендикуляров.