5961. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
стороны равны соответственно: AB=10
, BC=14
, CD=11
, AD=5
. Найдите угол между его диагоналями.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Заметим, что
AB^{2}+CD^{2}=100+121=221=25+196=AD^{2}+BC^{2}.
Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника, а угол AOB
равен \alpha
. Выразив входящие в равенство квадраты сторон по теореме косинусов для треугольников AOB
, BOC
, COD
и DOA
, после сокращений получим
-(OA\cdot OB+OC\cdot OD)\cos\alpha=(OA\cdot OD+OC\cdot OB)\cos\alpha,
что возможно только при \cos\alpha=0
. Следовательно, \alpha=90^{\circ}
.
Второй способ. Рассмотрим последовательные стороны четырёхугольника как векторы \vec{a}
, \vec{b}
, \vec{c}
, \vec{d}
(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}=\vec{0}
). При этом a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}
.
Заметим, что \vec{d}+\vec{a}
— одна диагональ четырёхугольника, а \vec{a}+\vec{b}
— другая. Имеем
2(\vec{d}+\vec{a})(\vec{a}+\vec{b})=(\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c})(\vec{a}+\vec{b})=(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{d}-\vec{c})(\vec{a}+\vec{b})=
=(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{c}-\vec{d})(\vec{c}+\vec{d})=a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}=0.
Это и значит, что диагонали перпендикулярны.
Примечание. Точно так же можно доказать более общий факт: диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны (см. задачу 1344).
Автор: Толпыго А. К.
Источник: Турнир городов. — 2011-2012, XXXIII, осенний тур, базовый вариант, 10-11 классы