5965. Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, полупериметр равен p
, а угол, противолежащий стороне a
, равен \alpha
. Докажите, что
\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{p(p-a)}{bc},~\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{(p-b)(p-c)}{bc}.
Решение. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc},
поэтому
\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos\alpha)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=\frac{2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{4bc}=
\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4bc}=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}=\frac{\frac{b+c+a}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}{bc}=\frac{p(p-a)}{bc},
\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos\alpha)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)=\frac{2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{4bc}=
=\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{4bc}=\frac{(a-b+c)(a+b-c)}{4bc}=\frac{\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}}{bc}=\frac{(p-b)(p-c)}{bc}.