5968. Дан прямоугольный треугольник ABC
. На катете AB
во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB
, а на гипотенузе AC
во внутреннюю сторону — равносторонний треугольник AEC
. Прямые DE
и AB
пересекаются в точке M
. Весь чертёж стёрли, оставив только точки A
и B
. Восстановите точку M
.
Решение. Так как \angle DAB=\angle EAC=60^{\circ}
, то \angle DAE=\angle BAC
, следовательно, треугольники ADE
и ABC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle ADE=90^{\circ}
. Тогда треугольник ADM
— прямоугольный, \angle DAM=60^{\circ}
. Значит, AB=AD=\frac{1}{2}AM
, т. е. точка M
симметрична A
относительно B
.
Автор: Москвитин Н. А.
Автор: Протасов В. Ю.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, заочный тур, № 1, 8 класс