5969. Вокруг равнобедренного треугольника
ABC
с основанием
AB
описана окружность и в точке
B
проведена касательная к ней. Из
C
проведён перпендикуляр
CD
к касательной, также проведены высоты
AE
и
BF
. Докажите, что точки
D
,
E
,
F
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть
CH
— третья высота треугольника. Поскольку
\angle CBD=\angle CAB=\angle CBH
, прямоугольные треугольники
CBD
и
CBH
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
BD=BH
. Кроме того, в прямоугольном треугольнике
AEB
отрезок
EH
— медиана, значит,
EH=HB=BD
и
\angle BEH=\angle EBH=\angle EBD
. Противоположные стороны
AE
и
BD
четырёхугольника
EDBH
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда
DE\parallel AB
. Поскольку прямая
EF
также параллельна
AB
, прямые
DE
и
EF
совпадают. Следовательно, точки
D
,
E
,
F
лежат на одной прямой.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, заочный тур, № 3, 8 класс