5969. Вокруг равнобедренного треугольника ABC
с основанием AB
описана окружность и в точке B
проведена касательная к ней. Из C
проведён перпендикуляр CD
к касательной, также проведены высоты AE
и BF
. Докажите, что точки D
, E
, F
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть CH
— третья высота треугольника. Поскольку \angle CBD=\angle CAB=\angle CBH
, прямоугольные треугольники CBD
и CBH
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому BD=BH
. Кроме того, в прямоугольном треугольнике AEB
отрезок EH
— медиана, значит, EH=HB=BD
и \angle BEH=\angle EBH=\angle EBD
. Противоположные стороны AE
и BD
четырёхугольника EDBH
равны и параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда DE\parallel AB
. Поскольку прямая EF
также параллельна AB
, прямые DE
и EF
совпадают. Следовательно, точки D
, E
, F
лежат на одной прямой.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, заочный тур, № 3, 8 класс