5970. В остроугольном треугольнике ABC
проведены медиана AM
, биссектриса AL
и высота AH
(точка H
лежит между L
и B
). При этом ML=LH=HB
. Найдите отношение сторон треугольника ABC
.
Ответ. AB:AC:BC=1:2:\frac{3\sqrt{2}}{2}
.
Решение. Обозначим ML=LH=HB=a
. Тогда
CM=BM=3a,~CL=CM+ML=3a+a=4a,~LB=2a.
По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AC}{AB}=\frac{LC}{LB}=\frac{4a}{2a}=2.
По теореме Пифагора получаем, что AC^{2}-CH^{2}=AB^{2}-BH^{2}
, или 4AB^{2}-25a^{2}=AB^{2}-a^{2}
, откуда AB=2\sqrt{2}a
. Следовательно,
\frac{BC}{AB}=\frac{6a}{2\sqrt{2}a}=\frac{3\sqrt{2}}{2},~AB:AC:BC=1:2:\frac{3\sqrt{2}}{2}.
Примечание. То, что \frac{AC}{AB}=2
, можно доказать и так. На продолжении стороны AB
за точку B
отложим отрезок BD=AB
. Тогда BC
— медиана треугольника ADC
, а так как CL:LB=2:1
, то L
— точка пересечения медиан треугольника ACD
. Значит, медиана AN
этого треугольника также проходит через точку L
. Тогда AN
— медиана и биссектриса треугольника ACD
, поэтому AC=AD=2AB
.
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, заочный тур, № 5, 8 класс