5971. Дана окружность с центром O
и не лежащая на ней точка P
. Пусть X
— произвольная точка окружности, Y
— точка пересечения биссектрисы угла POX
и серединного перпендикуляра к отрезку PX
. Найдите геометрическое место точек Y
.
Ответ. Прямая, перпендикулярная лучу OP
и пересекающая его в точке, удалённой от O
на расстояние OK=\frac{OP+OX}{2}
.
Решение. Пусть K
и L
— проекции точки Y
на OP
и OX
соответственно. Из определения точки Y
следует, что YP=YX
и YK=YL
. Значит, прямоугольные треугольники YKP
и YLX
равны по катету и гипотенузе, поэтому XL=PK
. Кроме того, прямоугольные треугольники OLY
и OKY
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому OL=OK
. Поскольку длины отрезков OP
и OX
не равны, одна из них равна сумме длин отрезков OK
и KP
, а другая — их разности, т. е.
OP=OK+KP,~OX=OL-KP,
откуда
OP+OX=OK+OL=2OK.
Следовательно, OK=\frac{OP+OX}{2}
. Очевидно, что любая точка прямой, проходящей через точку K
перпендикулярно OP
, принадлежит искомому ГМТ.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, заочный тур, № 6, 8-9 класс