5975. В угол вписаны непересекающиеся окружности \omega_{1}
и \omega_{2}
. Рассмотрим все пары параллельных прямых l_{1}
и l_{2}
таких, что l_{1}
касается \omega_{1}
, l_{2}
касается \omega_{2}
(\omega_{1}
, \omega_{2}
между l_{1}
и l_{2}
). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми l_{1}
, l_{2}
и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
— центры данных окружностей, r_{1}
, r_{2}
— их радиусы, O
— середина отрезка O_{1}O_{2}
, l_{1}'
— прямая, параллельная l_{1}
и проходящая через O_{1}
, l_{2}'
— прямая, симметричная l_{1}'
относительно средней линии. Тогда расстояние от между прямыми l_{2}'
и l_{2}
равно расстоянию между прямыми l_{1}'
и l_{1}
, т. е. r_{1}
. Значит, расстояние от O_{2}
до l_{2}'
равно |r_{2}-r_{1}|
.
Применив гомотетию с центром O_{1}
и коэффициентом \frac{1}{2}
, получаем, что расстояние d
от O
до средней линии равно \frac{|r_{2}-r_{1}|}{2}
, т. е. все средние линии касаются окружности с центром O
и радиусом d
.
Пусть прямая O_{1}O_{2}
пересекает среднюю линию в точке L
, а прямую l_{2}'
— в точке M
. При гомотетии с центром O_{1}
и коэффициентом \frac{1}{2}
точка O_{2}
перейдёт в O
, а точка M
— в L
. Значит, расстояние d
от O
до средней линии вдвое меньше расстояния от точки O_{2}
до прямой l_{2}'
, т. е. равно \frac{|r_{2}-r_{1}|}{2}
. Следовательно, все средние линии касаются окружности с центром O
и радиусом d
.