5978. В окружности \omega
с центром O
фиксирована хорда AC
. Точка B
движется по дуге AC
. Точка P
— фиксированная точка хорды AC
. Прямая, проходящая через P
параллельно AO
, пересекает прямую BA
в точке A_{1}
; прямая, проходящая через P
параллельно CO
, пересекает прямую BC
в точке C_{1}
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A_{1}BC_{1}
движется по прямой.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть Q
— вторая точка пересечения прямой AC
с окружностью A_{1}PC_{1}
. Тогда
\angle QA_{1}C_{1}=\angle QPC_{1}=\angle QCO=\angle QAO=\angle APA_{1},
а так как четырёхугольник A_{1}PQC_{1}
вписанный, то \angle APA_{1}=\angle QC_{1}A_{1}
. Значит, \angle QA_{1}C_{1}=\angle QC_{1}A_{1}
. Тогда QA_{1}=QC_{1}
и
\angle A_{1}QC_{1}=\angle AOC=2\angle A_{1}BC_{1},
т. е. Q
— центр описанной окружности треугольника A_{1}BC_{1}
. Следовательно, этот центр движется по прямой AC
.
Аналогично для остальных возможных случаев.