5979. Докажите, что для любого треугольника ABC
верно равенство
\frac{BC+CA}{AB}=\frac{\cos\frac{\angle A-\angle B}{2}}{\cos\frac{\angle A+\angle B}{2}}.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
и \gamma
углы при вершинах соответственно A
, B
и C
треугольника ABC
, а через a
, b
и c
— противолежащие им стороны; R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
По теореме синусов
a=2R\sin\alpha,~b=2R\sin\beta,~c=2R\sin\gamma=2R\sin(180^{\circ}-\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\beta),
поэтому
\frac{BC+CA}{AB}=\frac{a+b}{c}=\frac{2R\sin\alpha+2R\sin\beta}{2R\sin(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=
=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{\cos\frac{\angle A-\angle B}{2}}{\cos\frac{\angle A+\angle B}{2}}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 6, лемма 1, с. 108