5981. В треугольнике ABC
отмечены середины сторон AC
и BC
— точки M
и N
соответственно. Угол MAN
равен 15^{\circ}
, а угол BAN
равен 45^{\circ}
. Найдите угол ABM
.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Продолжим отрезок MN
на его длину в обе стороны и получим точки K
и L
(рис. 1). Так как M
— общая середина AC
и KN
, то AKCN
— параллелограмм. Тогда KC\parallel AN
, поэтому
\angle CKM=45^{\circ},~\angle KCM=15^{\circ}.
Отметим на отрезке CM
точку P
так, чтобы угол CKP
был равен 15^{\circ}
. Тогда отрезок KP
разобьёт треугольник KCM
на два равнобедренных треугольника. Кроме того, \angle PMN=60^{\circ}
, поэтому треугольник MPN
— равносторонний.
Треугольники PLN
и PKM
равны по двум сторонам и углу между ними (NP=MP=KM
, NL=KM
, \angle PNL=\angle PMK=120^{\circ}
), поэтому PL=KP=CP
, а так как
\angle MPL=\angle MPN+\angle NPL=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ},
то \angle CPL=90^{\circ}
, значит, треугольник CPL
— равнобедренный и прямоугольный. Тогда
\angle CLN=\angle CLP+\angle MLP=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}.
Четырёхугольник CLBM
— параллелограмм, следовательно,
\angle ABM=\angle BLM=\angle CLN=75^{\circ}.
(Можно использовать также, что построенная точка P
— центр описанной окружности треугольника KCL
.)
Второй способ. Пусть G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, F
— середина GB
, O
— вершина равностороннего треугольник GFO
, причём точки O
и A
лежат в одной полуплоскости относительно прямой MB
(рис. 2). Тогда MG=GF=GB=\frac{1}{3}BM
, MGO
и BFO
— равные равнобедренные треугольники с углами 30^{\circ}
при основаниях. Значит, \angle MOB=120^{\circ}
, а так как \angle BAM=60^{\circ}
и OM=OB
, то O
— центр окружности, описанной около треугольника MAB
.
Пусть луч OG
пересекает окружность в точке T
, а луч AG
— в точке T'
. Тогда дуга MT
, не содержащая точки A
, равна 30^{\circ}
, а так как вписанный угол MAT'
равен 15^{\circ}
, то T'
совпадает с T
. Значит, точки A
, O
и G
лежат на одной прямой. Тогда
\angle MOA=180^{\circ}-\angle MOG=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
Следовательно,
\angle ABM=\frac{1}{2}\angle MOA=75^{\circ}.
Автор: Блинков А. Д.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2014, X, финальный тур, № 2, 8 класс