5983. На стороне AB
треугольника ABC
выбраны точки C_{1}
и C_{2}
. Аналогично, на стороне BC
выбраны точки A_{1}
и A_{2}
, а на стороне AC
— точки B_{1}
и B_{2}
. Оказалось, что отрезки A_{1}B_{2}
, B_{1}C_{2}
и C_{1}A_{2}
имеют равные длины, пересекаются в одной точке, и угол между каждыми двумя из них равен 60^{\circ}
. Докажите, что \frac{A_{1}A_{2}}{BC}=\frac{B_{1}B_{2}}{AC}=\frac{C_{1}C_{2}}{AB}
.
Решение. Заметим, что
\overrightarrow{A_{1}B_{2}}+\overrightarrow{B_{2}B_{1}}+\overrightarrow{B_{1}C_{2}}+\overrightarrow{C_{2}C_{1}}+\overrightarrow{C_{1}A_{2}}+\overrightarrow{A_{2}A_{1}}=\overrightarrow{0}.
По условию A_{1}B_{2}=B_{1}C_{2}=C_{1}A_{2}
, и угол между каждыми двумя из трёх прямых A_{1}B_{2}
, B_{1}C_{2}
, C_{1}A_{2}
равен 60^{\circ}
. Поэтому
\overrightarrow{A_{1}B_{2}}+\overrightarrow{B_{1}C_{2}}+\overrightarrow{C_{1}A_{2}}=\overrightarrow{0}.
Отсюда и из первого векторного равенства получаем, что
\overrightarrow{A_{2}A_{1}}+\overrightarrow{B_{2}B_{1}}+\overrightarrow{C_{2}C_{1}}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, отложив векторы \overrightarrow{A_{1}B_{2}}
, \overrightarrow{B_{1}C_{2}}
, \overrightarrow{C_{1}A_{2}}
от некоторой точки последовательно друг за другом, мы получим некоторый треугольник T
. Стороны треугольника T
параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC
, поэтому эти треугольники подобны. Отсюда и вытекает требуемое равенство.
Примечание. В решении не используется условие о пересечении трёх отрезков в одной точке.
Автор: Богданов И. И.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, региональный этап, 10 класс