5984. Точка M
— середина стороны AC
остроугольного треугольника ABC
, в котором AB\gt BC
. Окружность \Omega
описана около треугольника ABC
. Касательные к \Omega
, проведённые в точках A
и C
, пересекаются в точке P
. Отрезки BP
и AC
пересекаются в точке S
. Пусть AD
— высота треугольника ABP
. Окружность \omega
, описанная около треугольника CSD
, второй раз пересекает окружность \Omega
в точке K
. Докажите, что \angle CKM=90^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Из точек M
и D
отрезок AP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \gamma
с диаметром AP
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ACK=\angle KAP
. Четырёхугольник CKDS
вписан в окружность \omega
, поэтому
\angle KDP=180^{\circ}-\angle KDS=\angle SCK=\angle ACK=\angle KAP.
Тогда из точек A
и D
, лежащих по одну сторону от прямой KP
, отрезок KP
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, D
, K
и P
лежат на одной окружности — окружности \gamma
. Следовательно,
\angle AKP=\angle ADP=90^{\circ}.
Отсюда
\angle MKP=180^{\circ}-\angle MAP=180^{\circ}-\angle ABC=\angle AKC.
Значит,
\angle MKC=\angle AKC-\angle AKM=\angle MKP-\angle AKM=\angle AKP=90^{\circ}.
Примечание. Из условия следует, что точка D
лежит внутри \Omega
, но вне треугольника ABC
.