5986. Треугольник ABC
вписан в окружность \Omega
с центром O
. Окружность \Omega_{1}
, построенная на AO
как на диаметре, пересекает описанную окружность \Omega_{2}
треугольника OBC
в точке S
, отличной от O
. Касательные к \Omega
в точках B
и C
пересекаются в точке P
. Докажите, что точки A
, S
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку CP
и BP
— касательные к \Omega
, то \angle OBP=\angle OCP=90^{\circ}
, значит, точка P
лежит на \Omega_{2}
и PO
— диаметр этой окружности. Поэтому \angle OSP=90^{\circ}
.
Поскольку AO
— диаметр окружности \Omega_{1}
, то \angle ASO=90^{\circ}
. Таким образом, точки A
и P
лежат на перпендикуляре к OS
, проходящем через точку S
.
Примечание. В задаче предложено новое описание симедианы треугольника ABC
. То, что прямая AS
в нашей задаче — симедиана, следует из того известного факта, что симедиана из вершины A
проходит через точку P
пересечения касательных к описанной окружности, проведённых из остальных вершин треугольника. Об этом и других свойствах симедианы можно прочитать, например, в главе VI книги Д. Ефремова «Новая геометрия треугольника».
Автор: Садыков Р. Р.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2013-2014, XL, региональный этап, 10 класс