5992. В окружность \Omega
вписан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\gt BC
. Пусть P
и Q
— середины меньшей и большей дуг AC
окружности \Omega
, соответственно, а M
— основание перпендикуляра, опущенного из точки Q
на отрезок AB
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BMC
, делит пополам отрезок BP
.
Решение. Пусть S
— середина хорды BP
, O
— центр окружности \Omega
. Достаточно доказать, что точки B
, C
, M
, S
лежат на одной окружности.
Первый способ. Равнобедренные треугольники AQC
и POC
подобны, так как вписанные в окружность \Omega
углы QAC
и OPC
опираются на одну дугу QC
. Поэтому \frac{AQ}{PO}=\frac{AC}{PC}
.
Поскольку S
— середина хорды BP
, не являющейся диаметром, OS\perp BP
. Прямоугольные треугольники AQM
и POS
подобны, так как вписанные углы QAM
и OPS
опираются на одну дугу QB
. Значит, \frac{AM}{PS}=\frac{AQ}{PO}=\frac{AC}{PC}
.
Поскольку углы MAC
и SPC
опираются на одну дугу BC
, то треугольники AMC
и PSC
подобны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что углы BMC
и BSC
равны как смежные с соответственными углами в этих треугольниках. Следовательно, точки B
, C
, M
, S
лежат на одной окружности.
Второй способ. Пусть K
— точка, симметричная точке C
относительно прямой BQ
. Поскольку
\angle ABQ=\angle PBQ-\angle ABP=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC),
прямая BQ
является внешней биссектрисой угла ABC
, значит, точка K
лежит на прямой AB
. Далее, из симметрии получаем QK=QC=QA
. Значит, треугольник QAK
равнобедренный, и его высота QM
является медианой: AM=MK
.
Но и треугольник BCK
равнобедренный, значит,
\angle BKC=\frac{1}{2}\angle ABC=\angle PBC.
Кроме того, углы BPC
и BAC
равны как опирающиеся на одну дугу. Следовательно, треугольники CAK
и CPB
подобны. Поэтому углы CSB
и CMK
(соответственные в этих подобных треугольниках) равны, т. е. \angle CSB=\angle CMB
. Значит, точки C
, S
, M
, B
лежат на одной окружности.
Примечание. См. также решение задачи 157 (первый способ).