5994. Остроугольный треугольник ABC
вписан в окружность \Omega
. Касательные, проведённые к \Omega
в точках B
и C
, пересекаются в точке P
. Точки D
и E
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на прямые AB
и AC
. Докажите, что точка пересечения высот треугольника ADE
является серединой отрезка BC
.
Решение. Пусть M
— середина BC
. Треугольник BPC
равнобедренный, значит, его медиана PM
является высотой. Поэтому четырёхугольник MCEP
вписан в окружность с диаметром CP
. Следовательно,
\angle MEP=\angle MCP=\angle BAC,
\angle MEA+\angle BAC=(90^{\circ}-\angle MEP)+\angle BAC=90^{\circ},
поэтому ME\perp AB
. Аналогично MD\perp AC
. Это и значит, что M
— точка пересечения высот треугольника ADE
.