6003. Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.
Указание. Выпуклый n
-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол \frac{360^{\circ}}{n}
относительно некоторой точки.
Решение. Правильный n
-угольник переходит в себя при повороте на угол \frac{360^{\circ}}{n}
вокруг его центра. При этом n
-угольник с вершинами в серединах сторон данного также переходит в себя. Следовательно, он правильный.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 4, с. 68
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4, с. 373