6004. Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата также образуют квадрат.
Указание. Рассмотрите поворот данного квадрата на 90^{\circ}
относительно его центра.
Решение. Пусть данные перпендикулярные прямые, проходящие через центр O
квадрата ABCD
, пересекают стороны AB
, BC
, CD
и DA
соответственно в точках M
, N
, K
и L
(в обоих случаях точки перечислены по часовой стрелке).
Первый способ. При повороте относительно центра O
квадрата на угол 90^{\circ}
по часовой стрелке прямая AB
переходит в прямую BC
, а прямая MK
— в прямую NL
. Следовательно, точка M
пересечения прямых AB
и KM
переходит в точку N
пересечения прямых BC
и LN
. Аналогично для остальных вершин четырёхугольника MNKL
.
Таким образом, при повороте относительно точки O
на угол 90^{\circ}
четырёхугольник MNKL
переходит в себя. Следовательно, это квадрат.
Второй способ. Диагональ AC
квадрата проходит через точку O
. Из равенства треугольников AOL
и CON
следует, что OL=ON
. Аналогично докажем, что OK=OM
. Диагонали четырёхугольника MNKL
делятся точкой пересечения O
пополам. Значит, MNKL
— параллелограмм. Из условия задачи следует, что его диагонали перпендикулярны. Значит, это ромб. Осталось доказать, что диагонали ромба MNKL
равны.
Для этого опустим перпендикуляры NN_{1}
и KK_{1}
из точек N
и K
на стороны соответственно AD
и AB
данного квадрата. Из равенства прямоугольных треугольников NN_{1}L
и KK_{1}M
(по катету и прилежащему острому углу) следует, что NL=KM
.
Таким образом, диагонали четырёхугольника MNKL
равны, перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, это квадрат.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 5, с. 68
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5, с. 373
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — , № 1.87, с. 179