6006. Два квадрата BCDA
и BKMN
имеют общую вершину B
. Докажите, что медиана BE
треугольника ABK
и высота BF
треугольника CBN
лежат на одной прямой. (Вершины обоих квадратов перечислены по часовой стрелке.)
Указание. Достройте треугольник BCN
до параллелограмма BCQN
, либо рассмотрите поворот на 90^{\circ}
относительно вершины B
, переводящий вершину K
в вершину N
, либо примените скалярное произведение векторов.
Решение. Первый способ. На продолжении медианы BP
треугольника BCN
отложим отрезок PQ
, равный BP
. Тогда BCQN
— параллелограмм,
QN=BC=AB,~BN=BK,~\angle QNB=180^{\circ}-\angle CBN=\angle ABK,
значит, треугольник QNB
равен треугольнику ABK
по двум сторонам и углу между ними. Тогда медиана NP
треугольника QBN
равна медиане BE
треугольника ABK
, значит, треугольники BNP
и KBE
равны по трём сторонам, и поэтому \angle BNP=\angle KBE
.
Пусть прямые NB
и AK
пересекаются в точке T
, а прямые BE
и CN
— в точке H
. Тогда
\angle BNH+\angle NBH=\angle BNP+\angle TBE=\angle KBE+\angle TBE=\angle KBT=\angle KBN=90^{\circ},
значит, EH\perp CN
. Следовательно, точка H
совпадает с F
, т. е. медиана BE
треугольника ABK
и высота BF
треугольника CBN
лежат на одной прямой.
Второй способ. Рассмотрим поворот на 90^{\circ}
относительно точки B
, переводящий вершину K
в вершину N
. При этом повороте вершина C
перейдёт в вершину A
, а точки A
и E
— в некоторые точки A_{1}
и E_{1}
. Отрезок AK
перейдёт в отрезок A_{1}N
, а середина E
отрезка AK
— в середину E_{1}
отрезка A_{1}N
, а так как точка A_{1}
лежит на прямой BC
и BA_{1}=BA=BC
, то B
— середина CA_{1}
.
Таким образом, E_{1}
и B
середины отрезков A_{1}N
и A_{1}C
, поэтому E_{1}B
— средняя линия треугольника A_{1}NC
. Значит, BE_{1}\parallel NC
, а так как \angle EBE_{1}=90^{\circ}
, то BE\perp NC
. Следовательно, точки E
, B
и F
лежат на одной прямой.
Третий способ. Обозначим \overrightarrow{BA}=\vec{a}
, \overrightarrow{BK}=\vec{b}
, \overrightarrow{BC}=\vec{a'}
, \overrightarrow{BN}=\vec{b'}
. Тогда
\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b}),~\overrightarrow{CN}=\vec{b'}-\vec{a'},
значит,
\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})(\vec{b'}-\vec{a'})=\frac{1}{2}(\vec{a}\vec{b'}-\vec{a}\vec{a'}+\vec{b}\vec{b'}-\vec{a'}\vec{b})=
=\frac{1}{2}(|\vec{a}|\cdot|\vec{b'}|\cos\angle ABN-0+0-|\vec{a'}|\cdot|\vec{b}|\cos\angle CBK)=
=\frac{1}{2}(BN\cdot AB-BC\cdot BK)\cos(90^{\circ}+\angle CBN)=
=\frac{1}{2}(BN\cdot AB-AB\cdot BN)\cos(90^{\circ}+\angle CBN)=0
(\vec{a}\perp\vec{a'}
и \vec{b}\perp\vec{b'}
, поэтому \vec{a}\vec{a'}=\vec{b}\vec{b'}=0
). Следовательно, BE\perp CN
, т. е. точки E
, B
и F
лежат на одной прямой.