6007. Внутри квадрата A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}
взята точка P
. Из вершины A_{1}
опущен перпендикуляр на A_{2}P
, из A_{2}
— перпендикуляр на A_{3}P
, из A_{3}
— на A_{4}P
, из A_{4}
— на A_{1}P
. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Указание. Рассмотрите поворот на 90^{\circ}
вокруг центра квадрата.
Решение. При повороте вокруг центра квадрата на 90^{\circ}
, переводящем точку A_{1}
в точку A_{2}
, перпендикуляры, опущенные из вершин A_{1}
, A_{2}
, A_{3}
, A_{4}
, переходят в прямые A_{2}P
, A_{3}P
, A_{4}P
и A_{1}P
соответственно. Поэтому точкой их пересечения является образ точки P
при обратном повороте.
Автор: Виленкин А. Н.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1971, XXXIV, 2-й тур, 7 класс
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 17, с. 118
Источник: Журнал «Квант». — 1971, № 5, с. 30, М81
Источник: Задачник «Кванта». — М81
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 2. — М.: Наука, 1991. — № 18.4, с. 69
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 18.4, с. 374
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.92, с. 180