6012. В треугольнике ABC
известно, что AB=BC
. Из точки E
на стороне AB
опущен перпендикуляр ED
на BC
. Оказалось, что AE=DE
. Найдите угол DAC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\angle ACB=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AED=90^{\circ}+\angle B=90^{\circ}+(180^{\circ}-2\alpha)=270^{\circ}-2\alpha.
Следовательно,
\angle EAD=\frac{180^{\circ}-\angle AED}{2}=\frac{180^{\circ}-270^{\circ}+2\alpha}{2}=\alpha-45^{\circ}.
Следовательно,
\angle DAC=\angle BAC-\angle EAD=\alpha-(\alpha-45^{\circ})=45^{\circ}.
Автор: Москвитин Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2013, IX, заочный тур, № 1, 8 класс