6013. В равнобедренном треугольнике ABC
(AC=BC)
угол при вершине C
равен 20^{\circ}
. Биссектрисы углов A
и B
пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках A_{1}
и B_{1}
. Докажите, что треугольник A_{1}OB_{1}
(где O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
) — равносторонний.
Указание. Отметьте на сторонах BC
и AC
такие точки A'
и B'
соответственно, что AB'=B'O=OA'=A'B
. Тогда треугольник OA'B'
равносторонний, а точки A'
и B'
совпадают с A_{1}
и B_{1}
.
Решение. Возьмём на сторонах BC
и AC
точки A'
и B'
так, что AB'=B'O=OA'=A'B
. Тогда треугольник A'B'C
также равнобедренный, поэтому \angle CA'B'=\angle CBA=80^{\circ}
и A'B'\parallel AB
.
Кроме того, треугольники OA'B
и BOC
равнобедренные, поэтому
\angle A'OB=\angle A'BO=\angle BCO=10^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника \angle CA'O=20^{\circ}
, значит,
\angle OA'B'=\angle CA'B'-\angle CA'O=80^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ},
поэтому равнобедренный треугольник OA'B'
— равносторонний. Тогда A'B'=A'B
, а так как A'B'\parallel AB
, то \angle A'BB'=\angle A'B'B=\angle ABB'
. Следовательно, BB'
— биссектриса угла ABC
, и точка B'
совпадает с B_{1}
. Аналогично A'
совпадает с A_{1}
. Отсюда следует утверждение задачи.
Автор: Штейнгарц Л. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2013, IX, заочный тур, № 2, 8 класс