6015. Дан неравнобедренный треугольник ABC
. Точка O
— центр описанной около него окружности, а точка K
— центр окружности \omega
, описанной около треугольника BCO
. Высота треугольника, проведённая из точки A
, пересекает окружность \omega
в точке P
. Прямая PK
пересекает описанную окружность треугольника в точках E
и F
. Докажите, что один из отрезков EP
и FP
равен отрезку PA
.
Указание. При симметрии относительно прямой OP
точка A
переходит в точку, лежащую на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Точки O
и K
лежат на серединном перпендикуляре к BC
, поэтому OK\parallel AP
, а так как треугольник KOP
равнобедренный, то
\angle OPK=\angle POK=\angle OPA.
Значит, точка A'
, симметричная A
относительно прямой OP
, лежит на прямой PK
. В то же время, окружность симметрична относительно своего диаметра (см. задачу 1677), поэтому точка A'
лежит на описанной окружности треугольника ABC
и, следовательно, совпадает с одной из точек E
, F
.