6018. Диагонали трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекаются в точке P
. Описанные окружности треугольников ABP
и CDP
пересекают прямую AD
в точках X
и Y
соответственно. Точка M
— середина отрезка XY
. Докажите, что BM=CM
.
Указание. Углы при основании XY
трапеции BXYC
равны, значит, эта трапеция равнобедренная (см. задачу 1913).
Решение. Из условия следует, что
\angle BXA=\angle BPA=\angle CPD=\angle CYD.
Углы при основании XY
трапеции BXYC
равны, значит, эта трапеция равнобедренная (см. задачу 1913). Треугольники BXM
и CYM
равны по двум сторонам углу между ними, следовательно, BM=CM
. Что и требовалось доказать.