6034. В ромбе ABCD
угол ABC
равен 120^{\circ}
. На сторонах AB
и BC
взяты точки P
и Q
, причём AP=BQ
. Найдите углы треугольника PQD
.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 60^{\circ}
.
Указание. Рассмотрите поворот на 60^{\circ}
вокруг точки D
.
Решение. Треугольники ABD
и CBD
— равносторонние. При повороте вокруг точки D
на угол 60^{\circ}
, переводящем вершину A
в вершину B
, вершина B
переходит в вершину C
, сторона AB
— в сторону BC
, а так как AP=BQ
, то точка P
переходит при этом повороте в точку Q
. Следовательно, треугольник PQD
— равносторонний.
Источник: Яковлев Г. Н. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. — М.: Просвещение, 1992. — № 24, с. 9
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1976-77, III, III этап, 9 класс