6035. Из вершины A
квадрата ABCD
внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры BK
, BL
, DM
, DN
из вершин B
и D
. Докажите, что отрезки KL
и MN
равны и перпендикулярны.
Указание. Рассмотрите поворот на 90^{\circ}
вокруг центра квадрата.
Решение. При повороте на 90^{\circ}
вокруг центра данного квадрата, переводящем вершину B
в вершину A
, вершина A
переходит в вершину D
, луч BK
— в луч AM
(\angle ABK=\angle DAM
), а луч AK
— в луч DM
. Поэтому точка K
пересечения лучей BK
и AK
перейдёт в точку M
пересечения лучей AM
и DM
.
Аналогично докажем, что при этом повороте точка L
перейдёт в точку N
. Значит, отрезок KL
переходит в отрезок MN
. Следовательно, KL=MN
и KL\perp MN
.
Автор: Нямсурен Д. (Монголия)
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 1, с. 38, М1202
Источник: Задачник «Кванта». — М1202
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.42, с. 16