6035. Из вершины
A
квадрата
ABCD
внутрь квадрата проведены два луча, на которые опущены перпендикуляры
BK
,
BL
,
DM
,
DN
из вершин
B
и
D
. Докажите, что отрезки
KL
и
MN
равны и перпендикулярны.
Указание. Рассмотрите поворот на
90^{\circ}
вокруг центра квадрата.
Решение. При повороте на
90^{\circ}
вокруг центра данного квадрата, переводящем вершину
B
в вершину
A
, вершина
A
переходит в вершину
D
, луч
BK
— в луч
AM
(
\angle ABK=\angle DAM
), а луч
AK
— в луч
DM
. Поэтому точка
K
пересечения лучей
BK
и
AK
перейдёт в точку
M
пересечения лучей
AM
и
DM
.
Аналогично докажем, что при этом повороте точка
L
перейдёт в точку
N
. Значит, отрезок
KL
переходит в отрезок
MN
. Следовательно,
KL=MN
и
KL\perp MN
.
Автор: Нямсурен Д. (Монголия)
Источник: Журнал «Квант». — 1990, № 1, с. 38, М1202
Источник: Задачник «Кванта». — М1202
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.42, с. 16