6039. На двух сторонах AB
и BC
правильного 2n
-угольника взято по точке K
и N
, причём угол KEN
, где E
— вершина, противоположная B
, равен \frac{180^{\circ}}{2n}
. Докажите, что NE
— биссектриса угла KNC
.
Указание. На продолжениях сторон BA
и BC
правильного 2n
-угольника за точки A
и C
отложите отрезки AA_{1}
и CC_{1}
, соответственно равные BA
и BC
. Точки A_{1}
, B
и C_{1}
являются вершинами другого правильного 2n
-угольника. Рассмотрите поворот на угол \frac{360^{\circ}}{2n}
вокруг точки E
. (Или рассмотрите вневписанную окружность треугольника KBN
, касающуюся стороны KN
.)
Решение. Первый способ. На продолжениях сторон BA
и BC
правильного 2n
-угольника за точки A
и C
отложим отрезки AA_{1}
и CC_{1}
, соответственно равные BA
и BC
. Поскольку \angle A_{1}BC_{1}=\angle ABC
и A_{1}B=C_{1}B
, то точки A_{1}
, B
и C_{1}
являются вершинами другого правильного 2n
-угольника, причём точка E
— центр этого 2n
-угольника.
При повороте на угол \frac{360^{\circ}}{2n}
вокруг точки E
точка A_{1}
перейдёт в точку B
, точка B
— в C_{1}
, а точка K
— в некоторую точку K_{1}
отрезка CC_{1}
. Тогда EK_{1}=EK
, а
\angle NEK_{1}=\angle KEK_{1}-\angle KEN=\frac{360^{\circ}}{2n}-\frac{180^{\circ}}{2n}=\frac{180^{\circ}}{2n}=\angle KEN.
Поэтому треугольники NEK_{1}
и NEK
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle KNE=\angle K_{1}NE=\angle CNE,
т. е. NE
— биссектриса угла KNC
.
Второй способ. Заметим, что BE
— биссектриса угла KBN
. Пусть O
— центр вневписанной окружности треугольника KBN
, касающейся стороны KN
. Отрезок KN
виден из точки O
под углом
90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot\frac{180^{\circ}(2n-2)}{2n}=\frac{180^{\circ}}{2n}
(см. задачу 4770). Но на биссектрисе BE
угла B
, очевидно, есть только одна точка, из которой отрезок KN
виден под этим углом, и по условию это точка E
. Следовательно, точки O
и E
совпадают, и NE
— биссектриса внешнего угла KNC
треугольника KBN
.