6041. Дан угол в 45^{\circ}
с вершиной O
и треугольник ABC
, в котором AB=6
, AC=3
. Вершины A
и B
треугольника скользят по сторонам угла так, что точки O
и C
находятся относительно прямой AB
а) по разные стороны, причём \angle ACB=135^{\circ}
;
б) по одну сторону, причём \angle ACB=45^{\circ}
.
Какое множество точек пробегает при этом вершина C
?
Ответ. а) Отрезок DE
луча OC
, OD=3
, OE=6\sqrt{2}
.
б) Отрезок OE=6\sqrt{2}
и отрезок OE'=3
.
Решение. а) Точки O
и C
лежат по разные стороны от прямой AB
и при этом \angle AOB+\angle ACB=45^{\circ}+135^{\circ}=180^{\circ}
, значит, точки A
, B
, C
и O
лежат на одной окружности (рис. 1). Пусть R
— её радиус. Тогда по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle AOB}=\frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2},
\sin\angle ABC=\frac{AC}{2R}=\frac{3}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}},
а так как \angle ABC\lt\angle ACB
, то \angle ABC\lt90^{\circ}
, поэтому \angle ABC=\arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
. Вписанные углы AOC
и ABC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AOC=\angle ABC
. Следовательно, при любом расположении точек A
и B
на соответствующих сторонах данного угла точка C
лежит на луче с началом в точке O
, образующем с лучом OA
угол, равный \arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
. При этом точка O
лежит на большей дуге каждой окружности одного и того же радиуса R=3\sqrt{2}
, описанной около треугольника AOB
.
Наибольшее расстояние между точками O
и C
достигается в случае, когда точка C
совпадает с точкой E
, диаметрально противоположной O
(рис. 2), т. е. OE=2R=6\sqrt{2}
.
Рассмотрим такое расположение точек A
и B
на сторонах данного угла, при котором точка C
совпадает с точкой D
, ближайшей к O
точке луча OE
, принадлежащей искомому ГМТ. Тогда либо A
, либо B
совпадают с точкой O
. В первом случае OD=AC=3
(рис. 2). Во втором — OD=BC
, но BC\gt3
, так как в противном случае AC+BC\leqslant3+3=6=AB
, что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, OD=3
.
б) Точки O
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
и при этом \angle AOB=\angle ACB=45^{\circ}
, значит, точки A
, B
, C
и O
лежат на одной окружности. Пусть R
— её радиус. Тогда по теореме синусов
R=\frac{AB}{2\sin\angle AOB}=\frac{6}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2},
\sin\angle ABC=\frac{AC}{2R}=\frac{3}{6\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}},
а так как \angle ABC\lt\angle ACB
, то \angle ABC\lt90^{\circ}
, поэтому \angle ABC=\arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
.
Если точки O
и B
лежат по одну сторону от прямой AC
(рис. 3), то вписанные углы AOC
и ABC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle AOC=\angle ABC=\arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
. В этом случае точка C
лежит на луче с вершиной O
, образующем с лучом OB
угол, равный 45^{\circ}+\arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
, а наибольшее расстояние между точками O
и C
достигается, когда точка C
совпадает с точкой E
, диаметрально противоположной O
(рис. 4), т. е. OE=2R=6\sqrt{2}
.
Если же точки O
и B
лежат по разные стороны от прямой AC
(рис. 5), то \angle AOC=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-\arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
. В этом случае точка C
лежит на луче с вершиной O
, образующем с лучом OA
угол, равный 180^{\circ}-\arcsin\frac{1}{2\sqrt{2}}
, а наибольшее расстояние между точками O
и C
достигается, когда точка A
совпадает с точкой O
(рис. 6), т. е. OC=AC=3
.
Если точка C
совпадает с O
, получим треугольник ABO
, удовлетворяющий условию задачи, в котором AB=6
и OA=3
, поэтому наименьшее расстояние между точками O
и C
равно нулю.