6048. Точки E
, F
, G
и H
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
, причём AE:EB=AH:HD=CF:FB=CG:GD
. Докажите, что EFGH
— параллелограмм.
Решение. Первый способ. Треугольник AEH
подобен треугольнику ABD
с коэффициентом \frac{1}{3}
, поэтому EH=\frac{1}{3}BD
. Также \angle AEH=\angle ABD
, а значит, EH\parallel AD
.
Треугольник CFG
подобен треугольнику CBD
с коэффициентом \frac{1}{2}
, поэтому FG=\frac{1}{3}BD
. Также \angle CFG=\angle CBD
, а значит, FG\parallel BD
.
Противоположные стороны EH
и FG
четырёхугольника EFGH
равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Поместим в вершины A
и B
массы 2m
и m
, в вершины D
и C
— массы m
и 2m
, в точки E
, G
, F
и H
— массы 3m
. Тогда, с одной стороны, центр масс системы материальных точек A(2m)
, B(m)
, C(2m)
и D(m)
— середина отрезка EG
, а с другой — середина отрезка FH
. Эти точки совпадают, поэтому диагонали EG
и FG
четырёхугольника EFGH
точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, EFGH
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.