6050. В окружность вписан четырёхугольник ABCD
. Обозначим через M
и N
точки пересечения прямых AB
и CD
, BC
и AD
соответственно. Пусть B_{1}
— отличная от B
точка пересечения данной окружности с окружностью, проходящей через точки B
, M
и N
. Докажите, что прямая B_{1}D
делит отрезок MN
пополам.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Достроим треугольник MDN
до параллелограмма MDNK
. Обозначим \angle MKN=\angle ADC=\alpha
. Тогда
\angle NBM=\angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle MKN,
значит, точка K
лежит на окружности, проходящей через точки B
, M
и N
.
Обозначим \angle BB_{1}D=\angle BCD=\angle BNK=\beta
. Тогда
\angle BB_{1}K=180^{\circ}-\angle BNK=180^{\circ}-\beta,
значит,
\angle BB_{1}D+\angle BB_{1}K=\beta+(180^{\circ}-\beta)=180^{\circ},
поэтому точки D
, B_{1}
и K
лежат на одной прямой. Диагональ DK
параллелограмма MDNK
делит диагональ MN
пополам. Отсюда следует утверждение задачи.
Аналогично для остальных случаев.