6055. На плоскости расположены две окружности радиусов R
и r
. Расстояние между центрами окружностей равно a
. Некоторая окружность касается данных внешним образом в точках K
и M
. Прямая KM
пересекает линию центров в точке D
. Найдите длину касательной, проведённой из точки D
к третьей окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{Rr(a^{2}-(R-r)^{2})}}{R-r}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда R\gt r
и R+r\lt a
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов r
и R
соответственно, O
— центр третьей окружности.
Пусть общая внешняя касательная к данным окружностям пересекает линию центров в некоторой точке D_{1}
и касается первой и второй окружностей в точках L
и N
соответственно. Опустим перпендикуляр O_{1}F
из центра первой окружности на радиус O_{2}N
второй окружности. Коэффициент подобия прямоугольных треугольников O_{1}D_{1}L
и O_{2}O_{1}F
равен \frac{r}{R-r}
, поэтому O_{1}D_{1}=O_{1}O_{2}\cdot\frac{r}{R-r}=\frac{ar}{R-r}
.
Пусть прямая DM
вторично пересекает окружность с центром O_{1}
в точке P
, а окружность с центром O_{2}
— в точке Q
. Из равенства
\angle O_{1}PK=\angle O_{1}KP=\angle OKM=\angle OMK=\angle O_{2}MQ
следует параллельность прямых O_{2}M
и O_{1}P
. Значит, треугольники O_{1}DP
и O_{2}DM
подобны, причём коэффициент подобия также равен \frac{r}{R}
, поэтому O_{1}D=\frac{ar}{R-r}=O_{1}D_{1}
. Следовательно, точка D_{1}
совпадает с D
.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{1}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{a^{2}-(R-r)^{2}}.
Из подобия треугольников O_{1}DP
и O_{2}DM
следует, что DM=\frac{R}{r}DP
.
Пусть DA
— касательная к третьей окружности. По теореме о касательной и секущей
DA^{2}=DK\cdot DM=DK\cdot\frac{R}{r}DP=\frac{R}{r}DK\cdot DP=\frac{R}{r}DL^{2}=
=\frac{R}{r}\left(\frac{r}{R-r}\cdot O_{1}F\right)^{2}=\frac{R}{r}\cdot\frac{r^{2}}{(R-r)^{2}}\cdot O_{1}F^{2}=\frac{Rr(a^{2}-(R-r)^{2})}{(R-r)^{2}}.
Следовательно,
DA=\frac{\sqrt{Rr(a^{2}-(R-r)^{2})}}{R-r}.