6056. На стороне BC
треугольника ABC
взята такая точка D
, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD
и ACD
, равны. Найдите AD
, если AB=c
, BC=a
, AC=b
.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{(b+c)^{2}-a^{2}}
.
Решение. Пусть S_{1}
, S_{2}
и S
— площади треугольников ABD
, ACD
и ABC
соответственно, p_{1}
, p_{2}
, p
— полупериметры этих треугольников, r_{1}
, r_{2}
и r
— радиусы их вписанных окружностей, O_{1}
, O_{2}
и O
— центры окружностей, K
и M
— точки касания со стороной AB
окружностей, вписанных в треугольники ABD
и ABC
соответственно. Обозначим также AD=x
, r_{1}=r_{2}=\rho
.
Тогда
S_{1}+S_{2}=S,~p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}=pr,~p_{1}\rho+p_{2}\rho=\rho(p_{1}+p_{2})=pr,~\rho(p+x)=pr,
откуда \frac{\rho}{r}=\frac{p}{p+x}
.
С другой стороны, прямоугольные треугольники BKO_{1}
и BMO
подобны, поэтому
\frac{\rho}{r}=\frac{r_{1}}{r}=\frac{O_{1}K}{OM}=\frac{BK}{BM}=\frac{p_{1}-x}{p-b}.
Аналогично
\frac{\rho}{r}=\frac{r_{2}}{r}=\frac{p_{2}-x}{p-c}.
Из равенства \frac{\rho}{r}=\frac{p_{1}-x}{p-b}=\frac{p_{2}-x}{p-c}
по свойству пропорций следует, что
\frac{\rho}{r}=\frac{(p_{1}-x)+(p_{2}-x)}{(p-b)+(p-c)}=\frac{p_{1}+p_{2}-2x}{2p-b-c}=\frac{p-x}{a}.
Таким образом, \frac{p}{p+x}=\frac{p-x}{a}
. Отсюда находим, что
x^{2}=p(p-a)=\frac{b+c+a}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}=\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{4}.
Следовательно,
AD=x=\frac{1}{2}\sqrt{(b+c)^{2}-a^{2}}.