6057. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— проведённые к ним высоты. Докажите, что
(a-h_{b})(b-h_{c})(c-h_{a})=(a-h_{c})(b-h_{a})(c-h_{b}).
Решение. Пусть S
— площадь данного треугольника. Тогда
h_{b}=\frac{2S}{b},~h_{c}=\frac{2S}{c},~h_{a}=\frac{2S}{a},
поэтому
(a-h_{b})(b-h_{c})(c-h_{a})=\left(a-\frac{2S}{b}\right)\left(b-\frac{2S}{c}\right)\left(c-\frac{2S}{a}\right)=\frac{(ab-2S)(bc-2S)(ac-2S)}{abc}.
С другой стороны,
(a-h_{c})(b-h_{a})(c-h_{b})=\left(a-\frac{2S}{c}\right)\left(b-\frac{2S}{a}\right)\left(c-\frac{2S}{b}\right)=\frac{(ac-2S)(ab-2S)(bc-2S)}{abc}.
Следовательно,
(a-h_{b})(b-h_{c})(c-h_{a})=(a-h_{c})(b-h_{a})(c-h_{b}).
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 829, с. 102