6058. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Хорда AC
первой окружности касается второй, а хорда AD
второй окружности касается первой. Прямая CD
пересекает первую окружность в точке M
, отличной от C
. Докажите, что прямая MB
делит отрезок AD
пополам.
Решение. Пусть прямая MB
вторично пересекает вторую окружность в точке E
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Докажем, что AEDM
— параллелограмм.
Действительно, из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AME=\angle AMB=\angle BAD=\angle BED=\angle MED,
\angle DME=\angle CME=\angle CMB=\angle CAB=\angle AEB=\angle AEM,
значит, AM\parallel DE
и MD\parallel AE
. Следовательно, AEDM
— параллелограмм.
Диагонали параллелограмм делятся точкой пересечения пополам, поэтому прямая MB
проходит через середину отрезка AD
.
Аналогично для остальных случаев.