6059. Докажите, что если в треугольнике выполняется равенство ab\cos\gamma+bc\cos\alpha+ac\cos\beta=c^{2}
, где a
, b
и c
— стороны треугольника, а \alpha
, \beta
и \gamma
— противолежащие им углы, то треугольник прямоугольный
Решение. По теореме косинусов
ab\cos\gamma=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2},~bc\cos\alpha=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2},~ac\cos\beta=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}.
По условию задачи
\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}=c^{2},
или a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Следовательно, данный треугольник прямоугольный.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 818, с. 101