6060. Около окружности с центром O
описан четырёхугольник ABCD
. Прямые AB
и CD
пересекаются в точке K
, а прямые BC
и AD
— в точке M
, причём точка D
принадлежит отрезкам CK
и AM
. Докажите, что \angle AOK=\angle COM
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому AO
— биссектриса угла BAD
, а KO
— биссектриса угла AKD
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOK=\angle OAB-\angle AKO=\frac{1}{2}\angle BAD-\frac{1}{2}\angle AKD=\frac{1}{2}(\angle BAD-\angle AKD)=\frac{1}{2}\angle ADK.
Аналогично \angle COM=\frac{1}{2}\angle CDM
, а так как \angle ADK=\angle CDM
, то \angle AOK=\angle COM
. Что и требовалось доказать.