6061. Внутри правильного треугольника ABC
взятая точка O
, для которой OA:OB:OC=a:b:c
, причём a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Найдите угол AOB
.
Ответ. 150^{\circ}
.
Решение. Положим OA=ka
, OB=kb
, OC=kc
. Рассмотрим поворот на 60^{\circ}
вокруг вершины B
, при котором вершина C
переходит в A
.
Пусть точка O
при этом переходит в некоторую точку O_{1}
. Тогда треугольник BOO_{1}
равносторонний, поэтому OO_{1}=OB=kb
и \angle BOO_{1}=60^{\circ}
. Отрезок OC
переходит в отрезок O_{1}A
, поэтому O_{1}A=OC=kc
.
Треугольник AOO_{1}
прямоугольный, так как
OA^{2}+OO_{1}^{2}=k^{2}a^{2}+k^{2}b^{2}=k^{2}(a^{2}+b^{2})=k^{2}c^{2}=O_{1}A^{2},
причём \angle AOO_{1}=90^{\circ}
. Следовательно,
\angle AOB=\angle AOO_{1}+\angle BOO_{1}=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 700, с. 88