6063. Докажите, что если из отрезков, равных a
, b
и c
, можно составить треугольник, то из отрезков, равных \frac{1}{a+c}
, \frac{1}{b+c}
и \frac{1}{a+b}
, тоже можно составить треугольник.
Решение. Пусть a\leqslant b\leqslant c
. Тогда
b+c\geqslant c+a\geqslant a+b~\Rightarrow~\frac{1}{b+c}\leqslant\frac{1}{c+a}\leqslant\frac{1}{a+b}.
Значит, достаточно доказать, что
\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\gt\frac{1}{a+b}.
Получаем
\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b}=\frac{(c+a)(a+b)+(b+c)(a+b)-(b+c)(c+b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=
=\frac{a^{2}+b^{2}+ab+ac+bc-c^{2}}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{a^{2}+b^{2}+ab+c(a+b-c)}{(b+c)(c+a)(a+b)}\gt0,
так как a+b\gt c
. Что и требовалось доказать.