6064. Из точки A
, расположенной вне окружности, проведены к ней две касательные AM
и AN
(M
и N
— точки касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K
и L
. Проведём прямую l
, параллельную AM
. Пусть KM
и LM
пересекают l
в точках P
и Q
. Докажите, что прямая MN
делит отрезок PQ
пополам.
Решение. Докажем сначала, что \frac{KN}{MK}=\frac{LN}{ML}
. Действительно, из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle AMK=\angle KLM=\angle ALM,
поэтому треугольник AMK
подобен треугольнику ALM
, значит, \frac{ML}{MK}=\frac{AL}{AM}
. Аналогично \frac{LN}{KN}=\frac{AL}{AN}
, а так как AN=AM
(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), то \frac{ML}{MK}=\frac{LN}{KN}
, или \frac{KN}{MK}=\frac{LN}{ML}
. Что и требовалось доказать.
Вернёмся к нашей задаче. Через точку N
проведём прямую, параллельную l
. Пусть эта прямая пересекает прямые MK
и ML
в точках E
и F
соответственно. Достаточно доказать, что N
— середина EF
.
Обозначим \angle NKE=\alpha
, \angle KEN=\beta
, R
— радиус окружности. Тогда
\angle MKN=180^{\circ}-\angle NKE=180^{\circ}-\alpha,~\sin\alpha=\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\angle MKN=\frac{MN}{2R},
\angle KLM=\angle AMK=\angle KEN=\beta,~\sin\beta=\sin\angle KLM=\frac{MK}{2R}.
Применяя теорему синусов к треугольнику MNE
, получим, что
\frac{EN}{KN}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\frac{MN}{2R}}{\frac{MK}{2R}}=\frac{MN}{MK},
откуда
EN=KN\cdot\frac{MN}{MK}=EN=MN\cdot\frac{KN}{MK}.
Аналогично FN=MN\cdot\frac{LN}{ML}
, а так как по доказанному ранее \frac{KN}{MK}=\frac{LN}{ML}
, то EN=FN
. Что и требовалось доказать.