6069. Прямая l
перпендикулярна отрезку AB
и проходит через точку B
. Окружность с центром на прямой l
проходит через точку A
и пересекает прямую l
в точках C
и D
. Касательные к окружности в точках A
и C
пересекаются в точке N
. Докажите, что прямая DN
делит отрезок AB
пополам.
Решение. Через точку D
проведём ещё одну касательную к окружности. Пусть эта касательная пересекается с прямой AN
в точке P
. Тогда DP\parallel AB\parallel NC
.
Треугольник ANM
подобен треугольнику PND
, а треугольник DMB
— треугольнику DNC
, поэтому
AM=DP\cdot\frac{NA}{NP},~BM=NC\cdot\frac{DB}{DC}=NC\cdot\frac{AP}{NP}=NA\cdot\frac{DP}{NP}=DP\cdot\frac{NA}{NP}
(AP=DP
и NC=NA
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки). Следовательно, AM=BM
.