6073. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, основание равно a
. Около треугольника описана окружность. Найдите хорду, пересекающую боковые стороны треугольника и делящуюся точками пересечения на три равных отрезка.
Ответ. \frac{3a}{1+2a^{2}}
или \frac{3}{\sqrt{9-2a^{2}}}
, при 0\lt a\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}
,
\frac{3a}{1+2a^{2}}
при \frac{1}{\sqrt{2}}\lt a\lt2
.
Решение. Пусть хорда KN
описанной окружности равнобедренного треугольника ABC
пересекает боковые стороны AB=AC=1
в точках L
и M
соответственно (L
между K
и M
), BC=a
, 0\lt a\lt2
. Обозначим AM=t
, AL=z
, KL=LM=MN=x
, \angle BAC=\alpha
.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд окружности AM\cdot MC=KM\cdot MN
и AL\cdot LB=KL\cdot LN
, или t(1-t)=2x\cdot x=2x^{2}
и z(1-z)=x\cdot2x=2x^{2}
, поэтому
t(1-t)=z(1-z)~\Leftrightarrow~t-t^{2}=z-z^{2}~\Leftrightarrow~z^{2}-t^{2}=z-t~\Leftrightarrow~(z-t)(z+t)=z-t.
Следовательно, либо z=t
, либо z=1-t
.
Поскольку 0\leqslant t(1-t)\leqslant\frac{1}{4}
, условию задачи удовлетворяют только те значения x
, для которых 2x^{2}\leqslant\frac{1}{4}
, или x\leqslant\frac{1}{2\sqrt{2}}
.
В первом случае KN\parallel BC
. Треугольник ALM
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{LM}{BC}=\frac{x}{a}
. Поэтому AL=AB\cdot\frac{x}{a}=\frac{x}{a}
, а так как AL\cdot LB=KL\cdot LN
, то \frac{x}{a}\left(1-\frac{x}{a}\right)=2x^{2}
. Отсюда находим, что
x=\frac{a}{1+2a^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{a}+2a}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot2a}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Следовательно, KN=3x=\frac{3a}{1+2a^{2}}
.
Пусть теперь z=1-t
. Тогда AL=z=1-t
. По теореме косинусов
\cos\alpha=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{1+1-a^{2}}{2\cdot1\cdot1}=\frac{2-a^{2}}{2},~
x^{2}=ML^{2}=AM^{2}+AL^{2}-2AM\cdot AL\cos\alpha=t^{2}+(1-t)^{2}-2t(1-t)\cdot\frac{2-a^{2}}{2}=
=(t+(1-t))^{2}-2t(1-t)-t(1-t)(2-a^{2})=1-t(1-t)(2+2-a^{2})=
=1-t(1-t)(4-a^{2})=1-2x^{2}(4-a^{2}).
Из уравнения x^{2}=1-2x^{2}(4-a^{2})
находим, что x=\frac{1}{\sqrt{9-2a^{2}}}
. Следовательно, KN=3x=\frac{3}{\sqrt{9-2a^{2}}}
.
Заметим, что неравенство \frac{1}{\sqrt{9-2a^{2}}}\leqslant\frac{1}{2\sqrt{2}}
верно только для a\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}
.